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面向 21 世纪课堂的音乐理论

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文章摘要

这是普吉特海湾大学 Robert Hutchinson 编写的开放授权在线音乐理论教材，覆盖美国大学四个学期的完整课程，以 GNU 自由文档许可证发布，配套网站上还有作业与练习，供自学者跟进。

作者的编写动机

序言里 Hutchinson 讲清了这本书与传统教材的两点差别。第一，它减少了四部和声（SATB）声部进行的比重，转而更多地把和声与「乐句」关联起来。第二，传统教材极少强调动机分析，以及比乐句更小的旋律单位的分析。 在他看来，这正是学生写不出旋律的根源——他们受到的训练通常只是在声部写作练习的高声部写一串四分音符的「旋律」，于是当作业要求他们做更多事时，大多数人都难以写出具有连贯性、且和声安排得当的乐句。

因此书里专门教动机（motive）、片段（fragment）、乐句（phrase）与子乐句（subphrase），以及各种旋律变形手法：倒影、音程改变、增值与减值、节奏变化、装饰、扩充、逆行。他相信理解了动机和子乐句，学生就能更好地把握旋律的逻辑与构造，从而有助于自己创作。

另一个贯穿全书的编排原则是尽可能使用流行音乐、电影音乐和音乐剧的例子来说明旋律与和声概念，并且通常放在乐句的语境中讲。

促成这本书的那份宣言

Hutchinson 自陈，他从 2001 年起就想为本校理论课程重编教程，而真正的推动力来自阅读美国大学音乐学会（College Music Society）本科音乐专业培养工作组的报告《从根基上改造音乐学习》。这份被通称为「宣言」的文件主张，大学应当把学生训练成作曲—演奏—即兴三位一体的音乐家（他自己会再加上「编曲」）——既像巴赫和贝多芬，也像查理·帕克和吉米·佩奇。这与他本人的成长经历高度共鸣：中学时他在舅舅的家庭录音棚和自组的车库乐队里写歌、编曲，弹电吉他、电贝斯、键盘和架子鼓；上大学后一直以职业贝斯手身份演奏爵士与融合乐，而他弹的大部分低音线条都是从 lead sheet 和弦符号即兴出来的。

他的博士学位是作曲，辅修音乐理论，在高年级对位法课上教学生写经文歌和赋格。他说自己相信作曲的手艺，同时也承认音乐中可珍视的东西有很多——歌词、律动、制作、织体、情感、和声、技巧、智性，不一而足——而这本书试图尽可能多地覆盖那些与「音乐如何被做出来」以及「理解如何丰富聆听体验」相关的部分。

内容结构

全书 35 章，从零起步一路推进到十二音技法与极简主义：

技术实现：站点由 PreTeXt 一类系统生成，带全文检索、索引和章节间超链接，图例为 SVG 矢量图，数学记号用 MathJax 渲染。最值得一提的是，谱例的演奏被链接到合法授权的 YouTube 视频，并且内嵌了起止时间码，教师不必自己去搜索对应段落。Hutchinson 明确把这种在线形态的互联能力——概念之间、与索引之间、与外部网页之间的链接——列为这本书之所以「面向 21 世纪」的理由之一。

HN 评论精华

298 分、147 条评论。资源本身获得了普遍好评，但讨论的火力集中在三个方向：五线谱记谱法该不该被取代、「21 世纪」这个标题名不副实、以及音乐理论的教学法是不是烂透了。

记谱法之争（全场最长的支线）

IvanK_net 开了第一枪：他认为古典记谱法比基础乐理本身难学三倍，如果你的目标是演奏乐器或在 MIDI 编辑器里作曲，跳过记谱法会学得快得多，甚至应该先懂乐理再学记谱。

larodi 把这个立场推到了极端：「用几个世纪前的记谱法来讲 21 世纪的音乐理论，嗯……抱歉，tracker 那种表格视图容易多了，DAW 的甘特图式编辑器也是，比同一个音能有三种写法的记谱法好懂一百倍。」

反驳来得又多又具体，而且大多来自真正靠演奏吃饭的人。

dfltr 给了个精炼的类比：英语乱七八糟，但我们仍在用它，因为它是一套几乎所有想加入这场对话的人都已经掌握的共享规则与符号。五线谱同理——如果你想把音乐传达给别人，学那门略显笨拙但举世通用的书面语言通常才是正路。

jerf 提供了整场讨论中最系统的论证，而且他的类比对 HN 读者格外贴切：这让他想起 HN 上周期性出现的「文本编程不行了，我们都该换成可视化编程」。如果有人花时间深入理解了文本方式的优点，然后据此造了个替代品，他愿意洗耳恭听；但如果批评只停留在「它老了所以它烂」这种浅薄层面，不太可能产出好答案。

他随后拆解了「用钢琴卷帘代替五线谱」这个最常见的提案为什么不成立：传统记谱法远不只是五条线和几种音符。它要处理许多不同乐器；它管力度、管发音法（音怎么被奏出）；它包含音符水平间距的微妙细节；连颤音从一个音的中途开始这种事都能标出来；它要有一份给指挥看的表示，要能用于打击乐，要能处理吉他等等。而典型的「记谱法不行，我们用 X」里的 X 通常就是钢琴卷帘，可一旦你把传统记谱拥有的东西列个清单来对照，钢琴卷帘连接近都谈不上。他还提了一个几乎从未被回答的具体难题：你打算怎么在那套记法里区分小十度和大十度？ 他的结论是：如果真有人要造出一种更好的新记谱法，它将不得不保留现行记谱法那种「非表征性」——我们并不是把音高变化直接编码成纸面上字面的、一一对应的几何关系，尤其不是时间的一一对应表示。

他还顺带把钢琴键盘的问题和记谱法的问题区分开了——他说自己用 Dvorak 布局、分体键盘的两半分别放在椅子扶手两侧相距两英尺的地方打字，所以并不是那种为现状辩护的人。他认为钢琴键盘之争明显得多、微妙得少：维持现行键盘的主要力量和维持 QWERTY 是同一种，但现行钢琴键盘没有 QWERTY 那么糟，它是有利有弊的。而现行键盘要求你分别学会十二个调，这对普通人是可证明做得到的，其好处则是你确实身处那十二个各自独立的调中——你不会在演奏 D 大调时不知不觉滑进 D# 大调还搞不清状况，而 Terpstra 那类同构键盘让这件事变得很容易发生。

TheOtherHobbes 补了个漂亮的框架：音乐理论就是一门用于音乐创作和演奏的编程语言，但与多数语言不同，它内在地是二维的——音乐同时包含横向（时间、节奏）和纵向（音高、和声）信息，而旋律这个要素两者都需要。他认为学习曲线陡峭，但在既有的需求和约束下，它大概已经做到了能做到的最好。bluGill 提醒别忘了力度这个维度。

来自实际演奏者的证词最有说服力。scarecrowbob（在老派爵士乐队里吹单簧管、也拉低音提琴和大提琴）说：让他基于那种记法在乐谱本上即兴一段单簧管独奏会非常困难，而这是他经常要做的事。他 1999 年起就在音序器和钢琴卷帘上写电子乐，很清楚替代方案是什么样——但「对什么而言更容易」才是问题，在演出现场读钢琴卷帘会非常难受。他还讲了一个很成熟的体悟：他花了很长时间才接受五线谱基本上只是一份建议，并不包含他在大乐队演出中需要的多年积累的上下文；但一旦接受了这一点，他的视奏能力好到让他不再期待别的记谱法。当 larodi 回敬说「即兴恰恰不是跟着记谱走」时，analog31（同样主业是大乐队低音提琴）出面澄清了实情：谱面由完全写出的段落和只有和弦符号的大段留白混合构成，他被期待即兴填充后者，同时对前者也要有所发挥——所以这本来就是读谱与即兴的混合。

Lio 提出了一个难以反驳的经验论证：DAW 已经存在很多年了，如果钢琴卷帘真的好懂一百倍，你难道不会看到人们打印钢琴卷帘来读吗？而且这个点子远早于计算机和 DAW，已有数百年历史，却始终没人用。他给出了几条具体原因：在速度下判断线段的相对长度比识别清晰的符号更难；88 音的钢琴卷帘在纸面上是极其低效的空间利用方式（连半音阶谱表都低效），而这对想和其他乐手一起视奏、希望在紧凑区域内看到尽可能多内容的人至关重要；五线谱经过长期实际使用，非常丰富且演化充分，为许多乐器都有扩展——当人们说记谱法表示不了 X 时，通常只是他们不知道它可以。他还补充了两条技术性理由：甘特图不把休止符作为符号显式表示，而在五线谱里包括休止在内的一切加起来正好等于小节长度；甘特图在同一乐段中同时呈现可辨识的短音符和长音符时也会失灵——这在 DAW 里没问题因为你可以缩放，但演奏时你不能。

当 larodi 举出鼓组和快速随机音符作为「中世纪记谱法无用」的例子时，Lio 直接请他给出一个无法被记谱的鼓点，并附上了 Amen break 的鼓谱链接。dfltr 虽不同意 larodi，但公允地指出了对方可能的立足点：像 Renegade Snares 那种带音高的军鼓，他确实不知道该怎么用标准节奏记谱写下来。

bsza 补了一条实用观察：钢琴卷帘也许更易学，但绝对不更易读——它在两个维度上都占更多空间，却在两个维度上都给的视觉线索很少，「祝你在钢琴卷帘上分辨五度和六度好运，或者搞清楚自己在第几个八度」。他还附带点出了一个贯穿全场的要点：A# 和 B♭ 不是同一个音，它们只是在十二平均律下碰巧有相同的音高，而这个差别很重要，理解它会给作曲者更多自由。

bitbckt（半职业长号手）针对「C 谱号基本已经过时」的说法给出了内行的纠正：中音谱号和次中音谱号按写的读，次中音谱号还用于移调降 B 调的高音谱，女高音谱号用于移调 F 调声部——这些都没有过时。他后来补充说，虽然爵士谱确实不太用次中音谱号，但对长号手而言不会读谱号仍然是限制职业发展的：商业演奏者常用这个技能来移调降 B 调 lead sheet，或在乐池里演奏，而次中音谱号在现代音乐剧里经常出现；更不用说这会让你被排除在四重奏或合唱机会之外，而那正是这行建立人脉的基础。totallymike 借此吐槽了一种他最喜欢的 HN 评论类型：某人缺乏足够的想象力去思考一件被许多人日常使用的东西为什么还在被使用。

「关于音高的部分其实不准确」

Hunpeter 委婉地指出 IvanK_net 自制的入门指南里有若干不准确和过度简化之处——可以限制范围甚至简化，但应当讲清楚音乐远比这丰富复杂。tracnar 举了个具体例子：「音乐中只使用有限的一组频率，所有这些频率都能在钢琴上弹出来」这句话当然不成立。

由此引出一场有趣的细节辩论。PaulDavisThe1st 反问难道不能把钢琴调到任意 88 个音高？organsnyder 澄清那不是引文的意思——除了微分音之外，许多乐器和人声能做到无限精细的音准，而演奏者会根据和弦结构、声部进行有意偏离平均律的「正确」音。dahart 给出了更硬的物理反驳：由于三角钢琴的三角形状由弦长决定、调音钉的位置、某些频段使用双弦三弦、以及音板的设计，每个琴键实际上只允许非常有限的频率范围——你显然不可能把一台现有钢琴调成 88 个 A0，也不可能调成 88 个 C9。BigTTYGothGF 还顺手指出了那份指南里一个隐藏的精度问题：按每半音乘 1.06 计算，每个八度会偏高约 1 音分，累积起来很可观。

PaulDavisThe1st 贡献了本场最有价值的跨文化视角：在历史上的拜占庭音乐文化里根本不存在绝对音高，其记谱形式完全是相对于某个任意根音的音程。印度斯坦与卡纳提克古典传统同理——Sa、Re、Pa 这些唱名并不指代音高，Sa 永远是根音，无论它是什么，其余音与它保持大致确定的音程关系。他还提出了一个术语上的审慎意见：他不会用「和声值」来描述这种体系，因为它出现在（宽泛地说）缺乏和声的音乐中；关键在于重要的是音程的集合（比率），而非作为频率的实际音高。

aanet 补充了印度音乐不标记音高的原因：让歌手自行选择根音 Sa，旋律在其上构建。印度斯坦音乐几乎全部基于旋律而非像西方音乐那样基于和声，而旋律是在 raga 框架内创造的。raga 类似调式但又不完全是，难以在西方音乐理论的约束内解释，恰恰是因为这个概念在西方音乐中不存在，所以多数印度古典理论家只称之为「旋律框架」。

标题名不副实之争

tantalor 直白发问：这和「21 世纪课堂」有什么关系？是不是只是个让它听起来现代的空洞短语？

反方给了几个答案。gowld 和 dahart 都指向了序言：这是一本带开放授权的完整学年大学理论教材，且用 YouTube 上的 21 世纪音乐出版物作例子。iainctduncan 给出了最实在的理由：它内嵌了谱例的 YouTube 视频——他 20 世纪的理论教材里可没有这个，而这会非常有帮助。webern777 强化了这一点：如果你曾试过只看着五线谱、完全不知道实际声音是什么样地学这些，就会明白这有多棒——那简直像在没有视觉的情况下学色彩理论。iainctduncan 补充说，对非钢琴演奏者尤其如此，他演奏单音乐器，即便学过不少钢琴，也达不到「随手视奏文献谱例」的水平。colonwqbang 则给了个结构性的解释：如果减去那个「空洞短语」，书名就只剩「音乐理论」了；对每一本写音乐、艺术、数学的书都这么做，你会得到一大堆标题完全相同且相当乏味的书。odyssey7 一句话点破：书名的作用是区分而非描述——salt_pine 后来独立地得出了同样的结论。

但更严厉的批评同样存在，而且值得认真对待。cbondurant 说他本来期待「21 世纪」意味着「适用于现代音乐实际被创作和交互方式的理论」——微分音、对节奏理论的更多关注、对音色在音乐中所起作用的更多重视、支撑其他文化悠久音乐传统的理论框架，以及通过对比理解每种音乐理论的独特之处。结果并没有。waffletower 的质疑更具体：连 20 世纪的技法都没有被充分呈现——电子与计算机音乐技法明显缺席，微分音的丰富历史连脚注都没有。chrisjj 给了个刻薄但有道理的建议：更好的书名应该是「我们的面向 21 世纪课堂的音乐理论」。

SeanLuke 提出了同一批评的温和版：这本书似乎高度侧重古典音乐理论，把影响力极大的现代风格（尤其是爵士）放到了次要位置，而且基本没有讨论其他文化（中东、非洲、东亚、印度）的音乐理论，也没有对流行与摇滚的当代分析。

反驳也有力。WhompingWindows（音乐理论学士）提出了三条：爵士依赖同样的基础并在其上扩展，古典音乐里的一切在爵士中都多少相关；这本书确实有一章讲流行音乐曲式、另一章讲爵士理论，而「古典」根本没出现在任何章节标题里；历史和时间顺序是有意义的——理论最早在古典语境中成形，其成文规则甚至早于巴赫，爵士是晚得多的发明并建立在这些传统之上。qlte 给了个理科类比：跳过全部化学先修课直接上有机化学，理由是它对现代生化和医疗更相关，而不学摩尔浓度和化学计量——不理解共同实践时期的基本和声分析规则，分析爵士的声部进行会极其困难。

关于非西方音乐的缺席，aanet 自己（他也是发帖人）认为这是最大的缺口，但也公允地指出这本书并未声称要覆盖「世界音乐」，而且西方音乐学者大多不具备足够知识去有见地地谈论非西方流派（例外存在但罕见），此外还有不少把门行为——他说自己在印度斯坦/卡纳提克研究中就见过。quacked 提出了一个尖锐的对称性质疑：为什么这个标准总是被用在西方人身上？我们去别的国家时，他们会在自己的理论之外把西方音乐的全部基础也讲一遍吗？viccis 则贡献了一条很具体的行业内幕：他认识几位在国外音乐学院研究和教授中东音乐数十年的人，他们极难在美国的音乐系找到职位；他亲眼见过的一个问题是，不少资深教授教的是经由上世纪欧洲东方学者著作过滤后的含糊版本，而他们对真正在那种音乐仍是活态艺术的地方研习多年的人进入院系感到威胁。更结构性的原因是，学校很少设专职岗位——他们可能有个会弹点乌德琴的吉他老师、一个能勉强吹奈伊笛（通常音准很糟）的长笛老师，对多数学校而言这些音乐只是让现有师资兼教的「附加项」。bluGill 由此引出一个更普遍的病症：音乐界存在把传统抬得过高的大问题——如果三百年前没这么用过、或者有任何改动，那就一定不好（唯独铜管乐器被允许加活塞，尽管那是现代产物）。

mtizim 提供了一个有趣的元评论：有人把 Adam Neely 那个视频整个吞了下去。他表示自己同意，但不知道还要死掉几代人才能推翻当前路径的荒谬之处——即便是这本书里那些和声功能流程图，作为分析和创作的有用工具给出，理论几乎立刻就失效了，被一首名叫《加州旅馆》的高度实验性小众作品击败。不过他也给出了策略性建议：把种族和阶级带进来虽然属实，但对论证无益，因为你想说服的人大多早已确信德国大师们的至高无上。

教学法之争

stackghost 提出了本场最有共鸣的批评之一：所有音乐理论文本似乎都无法避免同一个毛病——要求读者接受一堆需要死记硬背、却没有任何上下文的随机事实。比如让你把大调音阶背成一串全音和半音，却不提供任何缘由或动机。他还举了一个自认为的矛盾：大调音阶中所有音都要出现且不跳过不重复，但 D–E–F#–G 里 F 就被跳过了。

scottious 给了正确的表述方式：音乐字母表中的所有字母都在音阶中出现，其中某些带升号或降号，并列出了 D 大调、D 小调、降 D 大调、降 D 小调作为示例。deadfoxygrandpa 则直接查了原书为其辩护：书里并没有那么说——是转述的版本草率，而非书草率；书在介绍变音记号时说的是「可以放在音符前以升高或降低它们的字符」，在大调音阶一节说的是「所有大调音阶按顺序使用音乐字母表中的音，不跳过任何音，也没有任何音出现两次」，这并不含糊。stackghost 承认自己知道书的意思，但坚持他的论点不是展示自己的困惑，而是要强调音乐理论文本普遍质量不高，而这个领域似乎对此心安理得。

他最有力的一击是这句：「学生寻求建立理解，于是问：为什么升号的顺序是 FCGDAEB？为什么升四级的调式叫利底亚？音乐理论的回答是：因为老子就这么规定的。」

回应分成了两派，而且分歧本身很有启发性。

「先练后理论」派的证词来自真正的演奏者与教育者子女。scarecrowbob 说，以他被职业音乐教育者养大、有时还嫁娶其中一员、并在大量职业场合演奏的经验，一旦理解了实践，「理论」本身其实并不难。他不认为死记硬背对自己作为演奏者有多大用；他听过很多听上去「准确」但并不符合他自己思路和理解的分析。如果人们在演奏，那自然会产生「为什么这里是这个」的问题，这时有词汇来理解就很好；但他看到很多人（包括这个帖子里的几位）把顺序搞反了——以为可以从一套抽象规则集开始学到很多。如果那是对正在发生之事的看法，那他同意「教理论难如登天」；但如果学演奏先于关于「我们为什么演奏我们所演奏的」的理论，情况就容易得多。他举了个漂亮的例子：他是先学会在 G 大调布鲁斯的转折处该停在 A 和弦而不是 Am，很久以后才从某本理论书里拿到「那个 C# 对乐曲局部主音性做了什么」的概念——那时他才明白副属和弦听起来是什么样。

bluGill 把这个原则提炼成了一句好用的检验标准：音乐理论的每一个知识点，都应该导向「哦，原来这就是为什么我一直在这么做」的反应。或许还有一种有用的反应是「嗯，有意思，我想知道某首歌如果用上这个会怎样」。但抽象理论对做出好音乐没什么用，它能帮助理解为什么音乐了不起，也能帮助把好音乐打磨成伟大的音乐。针对那两个「为什么」，他的回答同样务实：那些问题音乐理论最终会回答，但知道答案对音乐几乎没有用处，所以最后会变得无趣，尽管问的时候看起来很有意思——「我能推导出升号的顺序，或者我觉得我能（我熟悉五度圈），但实际上这没什么用，所以我不会费这个劲。」

AlecSchueler 给出了最温和也最实用的版本：他和抱怨者一样偏好从第一性原理出发，但学音乐理论从没遇到问题，因为他是反过来从演奏切入的——先在乐器上玩得开心，之后学的理论就像是在给那些通过演奏已经变得显而易见的东西命名。「让音乐成为你的第一性原理，它就会豁然开朗。」

tarentel 给出了较为严厉的现实提醒：他描述的很多东西自己五岁就学了，如今不再需要思考，在任何乐器上都是本能。这是一本大学水平的教科书；如果你需要花那么多心思去想大调音阶怎么运作，大概意味着背景不足以研读它。他还给出了一个尖锐的判断：如果你想知道大调音阶为什么是这样，去上数学课、几门物理课大概也有帮助，等你读到研究生大概就能理解并解释得比 99% 的音乐家都好——而这对你创作音乐毫无帮助。他的类比是：这些抱怨本质上相当于想学开车的人要先搞懂整台车是怎么运作的，这对某些人可能有趣，但不是重点。

「应该有第一性原理」派同样有分量。strenholme 自述属于「一旦理解 2:1、3:2、4:3 听起来完整而好听，5:4 张力稍多，6:5 张力更多，音乐理论就说得通得多」的学派，不过他也承认对另一些人而言这会妨碍理解「这是小调音阶」这类基本内容。ChadNauseam 推荐了 Dmitri Tymoczko 的《什么让音乐好听》，其开头部分从第一性原理推导出自然音阶。mrob 对此提出了实质性的修正，也是全场信息密度最高的一条：他通读后只找到对亥姆霍兹的简短提及，并没有从其研究到音阶的清晰路径；他推荐 William Sethares 的论文作为更好的推导，但同时指出 Sethares 的工作假定 Plomp-Levelt 曲线是正确的，而这只是近似为真——实践中还存在「高阶拍音」，会在接近小整数比的比率处造成额外的不协和，这意味着最准确的不协和模型要把 Sethares 的方法与纯律中的比率复杂度结合起来，且有听辨实验支持。他还补充了一条方法论警告：不协和感知有很强的文化/训练成分，要把它降到最低，应当忽略音乐家的偏好而只询问未受训练的听者。

Al-Khwarizmi 说这正是一直阻碍他学基础乐理的原因，并给出了一个 HN 读者会立刻理解的类比：他喜欢代数和微积分但不喜欢统计——在代数或微积分里你从第一性原理开始向上构建、理解一切，而在统计课上（至少他被教的方式）你被给出高斯分布的概率密度公式，然后必须当作信仰接受。

simonek 的反驳很有力：从第一性原理理解一切，往往是通往那些真正有用之物最长也最低效的道路。心理声学很有趣，但至少在音乐旅程的头几十年里，它并不真的能帮你成为更好的音乐家，对绝大多数学生而言纯属浪费时间。而且——你学代数或微积分时极不可能是从第一性原理开始的，你是从另一端开始的，先学工具和技能并把它们用起来，然后带着这些工具再深入。音乐才能也不例外。

shermantanktop 给出了一个中肯的诊断：有些学科就是难。音乐记谱是为了便于记谱专家消费而优化的数学记号，它不是为学习而优化的。 很多活动都这样，教学法和实际使用是不同的目标，结果就是混乱而可怕的学习曲线。stackghost 不接受这个开脱：他的专业背景也被多数人视为「硬」学科，对行话和为实际使用优化的密集记号并不陌生，所以他不相信「好的教学法和可用的记号不可兼得」——「有些人能接受被告知『背下这一堆任意事实』，这没什么不对，我只是不属于那种能假装这是好教学法的人。」analog31 提了个很实际的观察和一个可爱的提议：在典型的培养路径里，音乐学生上理论课时早已能流畅读谱，读谱很可能是入学面试的一部分；也许需要一门「给工程师的音乐理论」，就像我们有「给诗人的物理」一样。

HelloNurse 从头开始读了这门课，并给出了全场最具体的教材批评：一种令人沮丧的、只讲「是什么」而不讲「为什么」的倾向随处可见，可能出于追求简洁和非正式的意图，但也造成了严重缺陷。他举了几例：讲大谱表时说中央 C 总是清晰地记在上方或下方谱表之一、从不在两谱表之间浮动，却没有说明音符归属哪个谱表其实指示了该用哪只手弹；讲变音记号时只说是「可放在音符前升高或降低它们的字符」，而没说这是为了复用谱表位置来区分音符；等音的定义在他看来完全错误，但在讨论音阶之前任何像样的解释都不可能；音级名称被放在讲小调音阶的第三章中间，而此前根本没有关于「音阶是什么」的定义。不过他也公允地指出许多地方从简洁优雅的处理中获益，并举了增减音程那一节作为正面例子。

其他值得一提的

Eduard 抱怨没找到任何音频文件，只有指向要先看广告的 YouTube 视频的外链，并引用了那句名言「写音乐就像跳建筑之舞」。aanet 直接给出了反例链接，指出书里其实有若干音频示例；mcbuilder 则认为那句名言更可能针对作为书面作品的「音乐欣赏」，而非针对理论本身的理解——他认识的一些音乐家很乐于使用理论术语，比如「我喜欢写带减和弦与挂留和弦的歌」。

chrisjj 抓了个字面漏洞：「钢琴上有 88 个音」——是 88 个键（通常），而音是无限的。shermantanktop 顺势开了个玩笑：那么一个单键钢琴也能有无限个音，至少在那个键磨坏之前。

nomel 说找不到 440 乘以 2 的 (n-49)/12 次方这个公式，因此强烈不认同这本书的定位；treebeard901 补充说 440Hz 如何成为标准的历史本身就很有意思。

kian 提出「一切都是模 12 整数」，BigTTYGothGF 提醒「只在十二平均律下如此」。bonzini 给了个更贴近实践的修正：更像是「只有你在演奏勋伯格时才是模 12 的」——几乎所有你演奏的乐谱用的都是八度的 5 个或 7 个不等分划分，偶尔加上其余的；有时你会经常性地用到一两个额外音（布鲁斯、和声小调、旋律小调），但大多数音乐不会用满全部十二个。当 drdaeman 追问「模 12 难道不是底层结构，然后你选一个音阶和一个调作为映射吗」时，bonzini 给出了要点：对演奏者而言映射比那个核心的 12 音结构更重要，因为高度半音化的段落会出现但属于例外；你选定音阶上的七个基本音，这决定了写在每行开头的升降号，而这个选择从记谱角度看甚至比确切的音阶更重要。他还举了《辛普森一家》主题曲作为反例：其音阶中的音集不符合那 15 组升降号中的任何一组，但它本来用的就是个陌生音阶，所以也没什么可争取的，作为演奏者你就直接应付过去。

tzs 贡献了全场最有智性乐趣的一条：设想我们发现了外星人，他们也用十二平均律，也从十二个音中取七个组成大调音阶，也用 C D E F G A B 命名大调音阶的音并用类似升降号的修饰符命名其余五个，也遵循转调后每个字母恰好用一次的约定——只不过他们选了不同的七个音作为大调音阶。他演示了把两套体系各自向上移调七个半音会发生什么：我们的结果只需一个升号，他们的却需要 23 个降号。但模 12 下，-23 等于 1。他由此给出了一个漂亮的推广：如果你有一个 T 音等分音阶、其中 M 个音构成大调音阶，那么向上移调 N 个音所得调号的升降号数量为 NM 模 T，并把证明留作练习（提示：把移调看成两步操作，先是保持字母不变、仅加升降号来移动音的「平移」，再是改变移调后音阶首音名称的「重命名」）。

song_synth（自称古典作曲家兼软件工程师）介绍了自己正在做的「和声着色」方案：按音的功能角色（和声价值）而非 0–11 中任意色相来着色，在 MIDI 式的矩形时值表示之外大幅压缩纵向空间；调色板为色盲人群设计，色相/明度编码功能和声，主调号永远是同一颜色，五度圈上距离为 r 的和弦对应偏移 r 的色相。

推荐资源方面：ultrasounder 指出站点根目录还有配套的作业和练习，对自学者很友好；casey_lang 提到另一部常被推荐的开放教材 Open Music Theory 并询问二者比较（无人回答）；zkanda 推荐了 YouTube 上的《Absolutely Understand Guitar》系列，称其教会他的乐理比任何课程都多；acjohnson55 分享了自己未完成的项目，是多年追寻「这些东西都从哪来」的成果；simonebrunozzi 询问有没有面向中年人的钢琴学习等价物，AlecSchueler 的回答朴素而实在——学会音名，然后就去乱弹，注意到规律或产生疑问时再去查，手开始疼就去查该怎么改，「用这个方法你会学得相当不错」。

最后，sedivy94 的赞叹或许代表了多数人的观感：连插图都是 SVG，在线教科书就该这么做。