HN Weekly 中文
← #790

用单个二元运算符表达所有初等函数

查看原文 HN 讨论

文章摘要

这篇 arXiv 论文提出了一个引人注目的数学结果：仅用一个二元运算符以及常数 1，就可以表达出科学计算器上所有的标准初等函数。这个运算符被命名为 eml，其定义非常简洁：

eml(x, y) = exp(x) - ln(y)

论文的核心贡献在于为连续数学找到一个类似于布尔代数中”NAND 门”的”通用基元”（universal primitive）。数字电路领域早就知道，仅靠 NAND 运算就能构造任意布尔函数，但在连续、实值数学世界中，一直缺乏类似的单一原语。作者证明，通过不断嵌套 eml 运算，辅以常数 1，可以构造出：

例如 exp(x) = eml(x, 1)，对数则可以通过嵌套 eml 得到。这意味着任何初等表达式都可以被重写成一棵”每个节点都是同一个运算符”的二叉树，满足简单的文法：S -> 1 | eml(S, S)。

这种统一的结构为符号回归（symbolic regression）打开了一条新路：因为每个表达式都是同构的 eml 树，梯度优化器（如 Adam）可以直接在这套语法上进行连续的参数搜索，从而从数值数据中自动恢复出封闭形式的初等函数。作者展示了用标准机器学习优化器就能完成这类任务的可能性。

这一成果挑战了人们对数学原语的传统认知，并可能为简化计算架构、改进符号回归方法带来新的启发。

HN 评论精华

  1. 计算代价高：SideQuark 提醒道，理论上的”可表达”并不等于”实用”。用 eml 表示一次简单的 x+y，在计算量、能耗和硬件成本上都比直接做加法高出至少一个数量级。ikrima 也指出，EML 获得表达上的优雅是以”指数级的表达式膨胀”为代价的——仅仅表达乘法就需要深度为 8、叶子超过 41 个的二叉树。

  2. 优雅的概念价值：lioeters 则为这项工作辩护，认为即便在实践中并无直接用处，”概念上的优雅本身也有价值”。这种发现往往会在未来的某个不经意时刻迸发出意想不到的应用，就像历史上许多纯数学结果一样。

  3. 数学基础存疑：empath75 对论文的数学基础提出质疑，认为 eml 运算在奇异点处的行为没有被严格定义，并且整套系统缺乏完备的方程理论（equational theory），这让”完备性”的声明显得有些脆弱。

  4. 在机器学习中的潜力：DoctorOetker 兴奋地探讨了实际应用，特别是 EML 在梯度下降优化和量子力学波函数建模中的潜力——因为所有函数都是同构的可微树，梯度的传播会比传统的混合表达式更规整。

  5. 新颖性的核心：strbean 精准地点出了论文的新颖之处：过去关于”通用函数基”的讨论往往排除了虚数、超越数等，而 eml 能同时覆盖 e、π、i 等常数以及超越函数与代数函数，这才是它真正跨越的门槛。