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把 n 个正方形塞进最小的正方形里：一个迷人的几何难题

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文章摘要

这是一个记录「正方形装填正方形（Squares in Squares）」问题最优解的页面。问题本身很简单：把 n 个边长为 1 的单位正方形塞进一个尽可能小的正方形容器里，求容器边长 s 的最小值。看似规整，实际解法却常常出人意料——为了挤出最后一点空间，某些正方形会被旋转一个奇怪的角度，在中心留下零散的缝隙。

页面建立在 Erich Friedman 早年整理的工作之上，近期由 David Ellsworth 更新，提供了 SVG 可视化和高精度计算。这项研究是一群学者数十年协作的结晶，可追溯到 1979 年，贡献者包括 Frits Göbel、Walter Trump、David Cantrell、Thomas Schadt 等人。

页面为每个 n 展示已知最小的装填方式。对于 n ≤ 324 中没有配图的值，最优解就是平凡排列（不旋转任何正方形）。当最优边长是某个三次以上多项式的根、又没有简洁闭式解时，会用一个 🔒 图标链接到完整的多项式方程。其中既有已被证明为最优的解（如 n = 6、9、13），也有 2024–2026 年的新突破——例如利用毕达哥拉斯三元组得到有理数边长的装填，以及通过模拟退火（simulated annealing）程序刷新的大量记录。

HN 评论精华

• gus_massa：提供了一个挑战点——n = 11 是最小的、其解尚未被证明为最优的情形。

• sestep：觉得三角形的表格视图非常迷人，「看起来像元素周期表」。他好奇是否存在数论引理或猜想，能预测某个数的最优装填属于哪个「家族」（如菱形、对角条带、两团 blob 等），可惜在底部的综述论文里没找到答案。

• amne：作为非英语母语者先解释了问题本身（对每个 n，求能容纳 n 个单位正方形的最小正方形边长），然后表达了真正的好奇：这类命题的证明长什么样？为什么需要证明？看到像 n = 11 这种「看起来就很别扭」的解，他的直觉是「它看着不对所以一定是错的」，可它偏偏有证明。

• npodbielski：发出朴素一问——为什么 n = 4 是平凡的，n = 6 却需要证明？

• NooneAtAll3：偏爱 n = 130，戏称「你以为我只是个 2 格宽的条带？SIKE，给你来个 8 次多项式！」

• bradley13：感叹有些解「很狂野」——你期待看到某种系统性规律，结果中心却是奇怪摆放的正方形间夹着小缝隙。

• NooneAtAll3 / xnx：xnx 称赞这是个很棒的站点，但有个小痒处——带明显对角线的排列没有统一朝向。

• yzydserd：补充本月「圆中装正方形（squares in circles）」也刷新了许多最优记录，并附上 Erich Friedman 的相关页面。

• razorbeamz：调侃 Hiroshi Nagamochi「干了所有枯燥的活儿」。

• ebolyen：贴出一则「非常相关」的漫画链接。