3Blue1Brown：AI 最后没能解出的那道 IMO 题
文章摘要
这是 3Blue1Brown（Grant Sanderson）2026 年 9 月 18 日发布的一期约 52 分钟的长视频（上线一周播放量约 230 万），由他与合作者 Nishad 共同完成。主角是 2025 年国际数学奥林匹克（IMO，在澳大利亚阳光海岸举办）第 6 题。这是当年最难的一题：600 多名参赛者中只有 6 人拿到满分（不到 1%）。它也是当年所有参赛 AI 系统唯一没做出来的一题。官方简介列出的章节是：AI 错过的那道题、题目陈述、寻找最优构造、一个较弱的下界、证明构造最优、最后一个猜想、Erdős–Szekeres 定理、关于 AI 与数学的反思。
AI 与 IMO 的背景。 开头他先回顾了这几年的变化。2021 年时，很多人认为 IMO 和别的测试完全不是一回事：它要求严谨与创造力并存，写证明时可走的逻辑步骤几乎是无限的。2023 年他上 Dwarkesh Patel 的播客，对方有一个问题就是：等 AI 能拿 IMO 金牌，那是不是就等于 AGI 了？结果第二年（2024 年），Google DeepMind 的 AlphaProof 就做出了 6 题中的 4 题。这里有个星号：需要人工把题目翻译成 Lean（一种把数学证明写成程序的语言）。2025 年多家机构参赛，有的走 Lean 路线，有的纯用自然语言端到端完成，模型解出了除第 6 题以外的所有题目。到了 2026 年，直接提示公众可用的推理模型，就能做对全部 6 题。他说 IMO 作为基准”几乎像是古代史了”，过去一年里，一切都已经一路速通进了研究级数学。
他请教过 Google DeepMind 研究总监 Thang Luong，问为什么这题难倒了模型。对方的回答是：”我们没有办法教会模型要有耐心。它没有花时间去理解问题、去找对问题的感觉，而是一上来就想解题。”Grant 又补了一个要素：就他和模型打交道的经验，模型不太能感觉到一个问题或一个策略”美”在哪里，而这道题的解法恰恰很吃对美的鉴赏力。
题目。 有一个 2025×2025 的单位方格网格。Matilda 想在上面放一些矩形瓷砖，大小可以不同。瓷砖的边要落在网格线上，瓷砖之间不能重叠，并且每一行、每一列都恰好有一个方格不被任何瓷砖覆盖。问：最少需要多少块瓷砖？IMO 要的不只是一个数字，还要给出构造，并严格证明它就是最优。视频先用 10×10 的例子演示了 21 块、17 块、16 块的几种铺法。最朴素的做法是把空格放在对角线上，两侧用横条铺满，需要 2(n−1) 块，但这显然不是 IMO 想要的答案。
先讲一个看似无关的切立方体谜题。 他的一个重要观点是：”看起来像天才的东西，通常是经验留下的沉淀。”谜题是这样的：把 3×3×3 的立方体切成 27 个 1×1×1 的小块，每刀沿一个平面切，而且每刀之后允许重新摆放碎块，最少要几刀？每刀最多让块数翻倍，所以 4 刀最多 16 块，不够。但答案其实是 6，关键在正中间那个小立方体：它的 6 个面各需要单独一刀，一刀不可能同时切出它的两个面。这个谜题的要点不在于找巧妙的切法，而在于如何证明最优：盯住中心立方体的面，和刀数建立一一对应。
迁移到瓷砖题：盯住空格的边。 把每个空格标成 X。每个 X 有 4 条边，除了贴着大网格外边界的 4 条，其余每条边都必须有一块瓷砖挨着。反过来，因为没有两个 X 同行或同列，一块瓷砖的每条边最多只能碰到一个 X，所以一块瓷砖最多”服务”4 条 X 边。由此得到第一个猜想：最优铺法应该让尽可能多的瓷砖各碰到 4 个 X。再往下看：如果 X 落在瓷砖某条边的中段，相邻瓷砖就会起冲突；只有 X 恰好在瓷砖的角上、四块瓷砖绕着 X 呈”风车”状排布时，大家才能相安无事。再加上对对称性的偏好（给定周长下正方形面积最大），他尝试用 k×k 的正方形瓷砖像拼图一样拼接，得到一个略微倾斜的正方形阵列，每块内部瓷砖都被风车状的 X 环绕，再补上四周的边界瓷砖，正好铺满 k²×k² 的网格。
这时参赛选手应该会心一笑：2025 = 45²。视频还埋了一个彩蛋：选手们落地的阳光海岸机场，地板瓷砖正是这种图案。计数如下：内部正方形 (k−1)² 块，四条边各 k−1 块边界瓷砖，合计 k² + 2k − 3。代入 k=45，得到 2112。
较弱的下界。 所有 X 的边共 4k² 条，去掉外边界 4 条，每块瓷砖最多碰 4 条，所以至少要 k² − 1 块。更干净的一一对应是只标记每个 X 的右边：每块瓷砖最多碰到一条（同一列没有两个 X），最右边那个 X 的右边不需要瓷砖，结论同样是 k² − 1。但这离目标还差大约 2k。他坦白，自己在笔记本上花了很长时间想从”边界瓷砖数”入手，全部失败。如果如实展示所有死胡同，”这会是一个九小时的视频”。只标记一个方向的弱点很明显：漏掉的瓷砖都扎堆在另一侧。用他的话说：”你尊重对称性时，数学奖励你；你不尊重时，它惩罚你。”
核心证明：两条路径把网格分成四块。 画一条穿过若干 X 的上升路径和一条下降路径，形成一个歪歪扭扭的大十字，把网格分成左、右、上、下四个区域。右区域的 X 标记右边，上区域的标记上边，依此类推；落在路径上的 X 按所在象限标记两条边。关键性质是：每块瓷砖最多碰到一条被标记的边。比如一块位于左区域的瓷砖，它上方的 X 只可能被标记左边或上边，不会是下边；下方的 X 不会被标记上边；左侧的 X 不会被标记右边。他说：”这张图就是本期视频证明的核心。”
接着给每个 X 标上所在的行号，就得到 1 到 k² 的一个排列。上升路径对应一个递增子序列（长度 a），下降路径对应一个递减子序列（长度 b）。被标记的边总数是 k² − 4 + a + b。如果两条路径在某个 X 上相交，那个 X 四条边全被标记，还能再加 1；即使交点不在 X 上，交点所在的那块瓷砖不碰任何标记边，同样可以加 1。于是瓷砖数 ≥ k² + a + b − 3。剩下只需证明：总能选出 a + b ≥ 2k。
Erdős–Szekeres 定理。 取最长递增子序列（LIS）和最长递减子序列（LDS），需要证明两者的平均值不小于 √n。他从例子出发，猜测 LIS × LDS ≥ n（在 n = k² 的最优构造对应的排列里，LIS 和 LDS 恰好都等于 k），再用算术-几何平均不等式就能推出所需结论。这正是著名的 Erdős–Szekeres 定理，考场上可以直接引用，但他坚持讲了证明：给排列中每一项标一对数（以它结尾的最长递增子序列长度，以它结尾的最长递减子序列长度）。任取两项，若后一项更大，第一个数至少加 1；若后一项更小，第二个数至少加 1。所以所有数对两两不同。把这些数对画成格点，它们全落在一个 LIS × LDS 的矩形里，n 个不同的格点放得进去，矩形面积自然不小于 n。他说：”我就是觉得这太漂亮了，漂亮到不能不分享。”
结尾：关于 AI 与数学（对着镜头说）。 他说这期视频本可以写成 AlphaGo 对李世石第四局那样的”人类最后的抵抗”，也可以猜测 AI 为什么做不出：大量依赖视觉直觉，这比纯符号推理更难训练；这又是那种不能马上动笔、必须先理解问题的题目，这种结构天然更难放进强化学习环境。但他认为更重要的是另一件事。这个证明早就存在，YouTube 上的 Dedekind Cuts 频道也讲过，那做这期视频的意义在哪？他和 Nishad 第一次看这个证明时的感受是：”我看得懂它是对的，但到底怎么会想到这个？”没有铺垫的话，LIS、LDS、边与瓷砖的对应关系，就像晴天霹雳一样从天而降。他区分了三个层次：找到构造、写出证明，以及第三层，构建一个叙事，让观众觉得这个证明几乎是显然的。他把第三层称为”有动机的解释”（motivated explanation）。
如今机器已经能为著名的未解问题生成证明，许多数学家开始反思：数学的目的一直是推进人类的理解，证明和开放问题只是指路的灯塔，真正有用的是围绕它们积累起来的理解，以及这些理解外溢到工程世界的效果。”如果你能生成不附带人类理解的证明，那就完全背离了初衷。”这给学术评价出了一道难题：把证明当作进步的代理指标，已经深深嵌在学术认可体系里。他主张学界应当把”有动机的解释”形式化，并给予它与证明同等的学术地位。他为此在 Terence Tao 的博客上写了一篇客座文章《如果数学不只是证明，我们就需要更好地赞美其余部分》，也录成了视频。
最后，他念了 Patreon 上一位支持者转述的话，出自一位解出过这道题的朋友：”这道题对深入理解数学没有贡献，和数学研究比也谈不上特别难。它的价值在于，我解出它时它温暖了我的心，一年多以后依然温暖着我。就像一本好书或一首动人的歌，这里的价值是属于人的。说我是人文主义者也好，但我真心相信，这道题作为一项数学发现的价值，超过了一篇普通的博士论文。”
HN 评论精华
这个帖子的讨论极少：9 分，只有 1 条评论。我在 Algolia 上查到同一视频还被另外提交过至少三次（分别是 4 分、3 分、1 分），都是零评论，没有可以合并参考的主讨论帖。
唯一的评论来自 mdp2021，内容只是贴出 3Blue1Brown 同步发布的一段约 100 秒的短版介绍（https://www.youtube.com/watch?v=bRQEWPA832A），没有展开讨论。
所以上面的摘要主要依据视频本身的英文字幕和官方简介写成。可以补充的几条延伸材料都来自视频简介：Evan Chen 为 IMO 2025 全部题目写的解答笔记（含本题完整解法）；Dedekind Cuts 频道对本题的讲解视频；Grant 在 Terence Tao 博客上的客座文章，里面展开了视频结尾”证明之外的数学”这个论点。